Dicy Probabilities (oder: welche Rakete klatscht am besten?)

Ein Crashkurs in Würfelstochastik

Wenn es um Trefferwahrscheinlichkeiten bei X-Wing geht, wird gerne viel und heiß diskutiert. Ist eine Concussion Missile nicht doch besser als eine Harpoon Missile? Zumindest wenn man es nicht schafft, dann das feststeckende Geschoss auch noch zur zweiten Explosion zu bringen? Wie wertvoll sind Guidance Chips wirklich, oder kann man getrost auch Long Range Scanners nehmen um dann eventuell doppelt modifizieren zu können? Wie gut ist es, wenn man bei manchen Missiles das Target Lock behalten darf im Vergleich dazu, es ausgeben zu müssen, aber dafür noch einen Focustoken zu haben?

Auf all diese Fragen gibt es in diversen Podcasts, Foren und Chats jede Menge Antworten (manche korrekt und manche völlig daneben). Letztendlich kann man das natürlich ausrechnen – zumindest wenn man keine totale Abneigung gegen etwas Kombinatorik und Wahrscheinlichkeitsrechnung hat. In diesem Beitrag möchte ich einmal kurz erklären, wie das geht (und auch ein bisschen, wie es nicht geht).

Wie man es nicht macht…

Fangen wir vielleicht mal mit letzterem an: Wie funktionieren die Wahrscheinlichkeiten nicht? Ein gutes Beispiel, was man oft liest, ist dass einfach mit Erwartungswerten (oder dem was für Erwartungswerte gehalten wird) gerechnet wird:

Plasma Torpedo mit GC und Focustoken

  • Die Erwartungswerte bei einem Angriffswürfel sind 0,5 Treffer, 0,25 Augen, 0,25 Blanks.
  • Bei vier Würfeln ist das dann 2 Treffer, 1 Auge, 1 Blank.
  • Guidance Chips dreht den Blank ja sicher, also ist dann der Erwartungswert 3 Treffer und 1 Auge.
  • Mit Focustoken sind das dann 4 Treffer.

Klingt gut… ist aber halt nicht richtig. Richtig wäre ein Erwartungswert von 3,68 Treffern und eine Wahrscheinlichkeit für die einzelnen Ergebnisse wie folgt:

hits —> 0 1 2 3 4
probablility —> 0 0,00390625 0,046875 0,2109375 0,73828125

Die Frage ist jetzt… warum? Die interessantere Frage ist eigentlich: Warum war das erste Beispiel falsch? Die Antwort hierauf ist, dass Erwartungswerte nur mit linearen Transformationen verträglich sind und die Modifikation durch GC keine lineare Transformation der vektorwertigen Zufallsvariable eines Würfelwurfes ist. Obwohl es komplizierter klingt als es ist… ist es leider tatsächlich nicht ganz simpel. Ohne das ganze Mathe-Fachvokabular (was zur Hölle ist eine lineare Transformation und warum hat mir nie jemand gesagt, dass meine Guidance Chips nichtlinear sind?) steckt man da schnell fest. Lassen wir also kurz die Erklärung, warum da oben irgendwo ein Fehler drin ist, beiseite und rechnen das einfach mal von vorne nach hinten durch.

Disclaimer: Ich werde im Folgenden aus Gründen der Anschaulichkeit Crits immer wie Hits behandeln. Das ganze geht natürlich auch, wenn man das gerne getrennt betrachten möchte, aber die Tabellen werden dann dreidimensional (crits – hits – eyes) und das kann man nicht so schön darstellen. Außerdem werde ich die Werte in den Tabellen auf drei Nachkommastellen runden.

Warnung: Wen nur die Schlussfolgerung und das Endergebnis interessieren (kann ich euch nicht verübeln), der scrollt jetzt am besten nach gaaaaanz unten oder klickt hier. Dort gibts ein paar Tabellen, die euch bei der Wahl des geeigneten Lenkflugkörpers helfen können. Falls euch interessiert, wie ihr sowas auch selber ausrechnen könnt, dann lest ihr jetzt auch den etwas länglichen Mittelteil. 🙂

Wahrscheinlichkeiten für unmodifizierte Würfel

Fangen wir mal damit an, eine Grundtabelle für die Wahrscheinlichkeiten für alle möglichen Ergebnisse eines unmodifizierten Wurfs (mit 4 Würfeln) zu basteln. Das geht noch als Tabelle, in der man hits und eyes gegeneinander stellt, weil die Anzahl der blanks sich ja immer aus den beiden anderen ergibt. Also kann ich über die Anzahl der hits und eyes alle möglichen Würfe eindeutig beschreiben.

Beispiel (4 Würfel):

1 hits, 1 eyes => 2 blanks

1 hits, 3 eyes => 0 blanks

Tabelle (4 Würfel):

0 hits 1 hits 2 hits 3 hits 4 hits 
0 eyes
1 eyes kann nicht passieren!
2 eyes kann nicht passieren! kann nicht passieren!
3 eyes kann nicht passieren! kann nicht passieren! kann nicht passieren!
4 eyes kann nicht passieren! kann nicht passieren! kann nicht passieren! kann nicht passieren!

In die Tabelle wollen wir jetzt alle Wahrscheinlichkeiten für das jeweilige Wurfergebnis eintragen (also z.B. ganz oben links die Wahrscheinlichkeit für 4 blanks). Wie rechnen wir die jetzt aus (ohne wissen zu müssen was eine Binomialverteilung ist)? Als erstes müssen wir akzeptieren, dass unsere Angriffswürfel alles einzelne individuelle Würfel sind. Um das deutlich zu machen, habe ich an meinen mal kurz gezeigt, warum ich meine Schiffe besser nicht bemale:

Immerhin reicht mein Talent, um die Würfel jetzt sicher auseinanderhalten zu können.

Was muss jetzt also bei (0 hits, 0 eyes) in die Tabelle? Na die Wahrscheinlichkeit, dass alle Würfel (der weiße, der gelbe, der blaue und der grüne) blank zeigen! Das sind 0,25 * 0,25 * 0,25 * 0,25 = 0,00390625 und ja, das ist ca. 0,4% und damit ziemlich unwahrscheinlich. Wir haben hier eine Regel angewendet, die sagt, dass man für die Wahrscheinlichkeit dass zwei (oder mehrere) unabhängige Ereignisse A und B eintreten, die Einzelwahrscheinlichkeiten multiplizieren muss. Die Würfel sind im Allgemeinen unabhängig voneinander, deshalb dürfen wir das so ausrechnen.

Was kommt jetzt in die Tabelle bei (1 hits, 0 eyes)? Zunächst bedeutet das ja, dass ein Würfel hit zeigt und alle anderen blank. Der Clou ist jetzt, dass es einen Unterschied macht, welcher Würfel den hit zeigt!

 

 

 

 

 

 

 

Die Bilder zeigen alle ein unterschiedliches Ereignis… nur das uns das beim Spielen nicht interessiert – uns ist nur wichtig, dass es 1 hit und 3 blanks sind! Also haben wir folgende Wahrscheinlichkeiten:

Weiß blank, blau hit, gelb blank, grün blank = 0,25 * 0,5 * 0,25 * 0,25 = 0,0078125

Weiß blank, blau blank, gelb hit, grün blank = 0,25 * 0,25 * 0,5 * 0,25 = 0,0078125

Weiß blank, blau blank, gelb blank, grün hit = 0,25 * 0,25 * 0,25 * 0,5 = 0,0078125

Weiß hit, blau blank, gelb blank, grün blank = 0,5 * 0,25 * 0,25 * 0,25 = 0,0078125

Das sind alle vier Möglichkeiten für (1 hits, 0 eyes); Wahrscheinlichkeiten von zwei (oder mehreren) Ereignissen bei denen A oder B eintreten soll, werden addiert. Da wir hier vier Möglichkeiten haben, die alle die selbe Wahrscheinlichkeit haben, ist die Gesamtwahrscheinlichkeit für (1 hits, 0 eyes) also 0,0078125 * 4 = 0,03125.

Nach der gleichen Methode können wir jetzt den Tabelleneintrag (0 hits, 1 eye) ausrechnen: es gibt 4 Möglichkeiten (weiß zeigt eye oder blau zeigt eye oder gelb zeigt eye oder grün zeigt eye), jede davon hat eine Wahrscheinlichkeit von 0,25 (eye) * 0,25 (blank) * 0,25 (blank) * 0,25 (blank), also insgesamt 4 * 0,00390625 = 0,015625.

Genauso geht es für alle anderen Einträge in der ersten Zeile oder der ersten Spalte (das sind die, bei denen keine eyes und hits gemeinsam auftreten). Man muss nur immer darauf achten, wieviele Möglichkeiten es gibt, das Ergebnis mit den vier verschiedenen Würfeln zusammenzustellen!

Zum Beispiel sind es bei 2 hits und 2 blanks dann schon 6 Möglichkeiten:

Weiß hit, blau hit, rest blank.

Weiß hit, gelb hit, rest blank.

Weiß hit, grün hit, rest blank.

Blau hit, gelb hit, rest blank.

Blau hit, grün hit, rest blank.

Gelb hit, grün hit, rest blank.

Jede davon hat die Einzelwahrscheinlichkeit 0,5 * 0,5 * 0,25 * 0,25 = 0,015625. Insgesamt ist der Eintrag für (2 hits, 0 eyes) deshalb 0,015625 * 6 = 0,09375.

Wer die Anzahl (also z.B. die 6 bei dem obigen Beispiel) der Möglichkeiten für ein Ergebnis schneller haben mag, als sie sich immer neu zu überlegen, für den gibt es da eine Formel, die genau das ausrechnet. Das Ding heißt Binomialkoeffizient und ist den meisten bestimmt noch aus der Schule in schlechter Erinnerung geblieben. Ist aber hier extrem praktisch, weil man damit genau die Anzahl der Kombinationen von Würfeln die ein bestimmtes Symbol zeigen sollen bekommt (z.B. wie oben: 2 aus 4 Würfeln sollen hits zeigen, der Binomialkoeffizient “4 über 2” ist 6, es gibt also 6 Möglichkeiten, wie das passieren kann).

Die Tabelle sieht jetzt also so aus, in der Mitte sind die schwierigen Fälle noch frei:

0 hits 1 hits 2 hits 3 hits 4 hits 
0 eyes 0,004 0,031 0,094 0,125 0,063
1 eyes 0,016 kann nicht passieren!
2 eyes 0,023 kann nicht passieren! kann nicht passieren!
3 eyes 0,016 kann nicht passieren! kann nicht passieren! kann nicht passieren!
4 eyes 0,004 kann nicht passieren! kann nicht passieren! kann nicht passieren! kann nicht passieren!

Wenn wir jetzt die Einträge in der Mitte betrachten, dann sehen wir, dass es da hits und eyes und eventuell blanks gibt und wir erstmal nicht weiter kommen. Die gute Nachricht ist, dass wir aber trotzdem schon alles beisammen haben, was man braucht – wir müssen jetzt nur schrittweise vorgehen. Für (1 hits, 1 eyes) beispielsweise ist jetzt klar, dass die Wahrscheinlichkeit jedes Einzelereignisses mit dem Wurfergebnis 0,5 (hit) * 0,25 (eye) * 0,25 (blank) * 0,25 (blank)  = 0,0078125 sein muss. Was unklar ist, ist die Anzahl an Möglichkeiten, unsere vier Würfel so hinzulegen, dass das Ergebnis 1 hits, 1 eyes, 2 blanks da liegt. Natürlich können wir die wieder versuchen aufzuschreiben, aber wir können auch einen der wichtigsten Tricks der Mathematik anwenden: Wir betrachten nur einen Teil des Problems und lösen den; dann verwenden wir die Lösung des Teilproblems um das Gesamtproblem zu lösen. Klingt kompliziert? Ist es nicht – das klingt nur kompliziert, weil Menschen die Mathe mögen auch komisch reden!

Das Teilproblem, was wir jetzt angehen ist folgendes: Nehmen wir an, dass der weiße Würfel einen hit zeigt – wieviele Möglichkeiten gibt es dann für die restlichen 3 Würfel das Ergebnis 1 eyes, 2 blanks zu zeigen (denn das würde ja noch fehlen für 1 hits, 1 eyes)? Das Teilproblem ist jetzt wirklich einfacher, da wir nun wieder nur blanks und eine einzige andere Art von Symbolen haben (eyes); dafür haben wir ja mit den Binomialkoeffizienten (oder mit dem Hinlegen von angemalten Würfeln) schon einen Weg! Mit 3 Würfeln 1 eye und 2 blanks hinzulegen, das geht auf 3 Arten.

Das Gute ist jetzt, dass es eigentlich egal ist, welchen Würfel man sich ausgesucht hat, um das Teilproblem zu bilden. Anstelle des weißen Würfels hätten wir auch den blauen oder den gelben oder den grünen nehmen können und es wäre genauso weitergegangen: Immer hätten wir für die restlichen Würfel 3 Möglichkeiten gehabt, das noch fehlende Ergebnis hinzulegen. Also setzen wir jetzt aus den vier Teilproblemen (die jeweils 3 Möglichkeiten haben) die Gesamtanzahl der Möglichkeiten für (1 hits, 1 eyes) zusammen:

Es gibt 4 Möglichkeiten, sich ein Teilproblem zu basteln, in dem man einen der Würfel als hit festlegt.

Es gibt 3 Möglichkeiten als Lösung jedes Teilproblems.

Insgesamt sind das dann also 4 * 3 = 12 Möglichkeiten. Wer jetzt sagt, dass man da ja auch einfach zwei Binomialkoeffizienten “hintereinanderschalten” könnte hat recht. Es gibt da sogar auch eine Formel, die das schon tut – ist aber hier nicht so wichtig.

Der Eintrag für (1 hits, 1 eyes) ist jetzt also 12 * 0,0078125 = 0,09375.

Genau mit der Methode können wir jetzt auch (1 hits, 2 eyes) und (2 hits, 1 eyes) ausrechnen: das sind dann Gesamtwahrscheinlichkeiten von 0,09375 und 0,1875. Es fehlen dann noch (1 hits, 3 eyes), (2 hits, 2 eyes) und (3 hits, 1 eyes). Da sind dann keine blanks dabei und wir können das im Grunde wieder mit den einfachen Binomialkoeffizienten von oben lösen:

0,5 (hit) * 0,25 (eye) * 0,25 (eye) * 0,25 (eye) * 4 Möglichkeiten = 0,03125.

0,5 (hit) * 0,5 (hit) * 0,25 (eye) * 0,25 (eye) * 6 Möglichkeiten = 0,09375.

0,5 (hit) * 0,5 (hit) * 0,5 (hit) * 0,25 (eye) * 4 Möglichkeiten = 0,125.

Tabelle fertig! Wir kennen jetzt die genauen Wahrscheinlichkeiten für alle möglichen Ergebnisse mit 4 Würfeln (ohne Modifikation und ohne crits zu berücksichtigen).

0 hits 1 hits 2 hits 3 hits 4 hits 
0 eyes 0,004 0,031 0,094 0,125 0,063
1 eyes 0,016 0,094 0,188 0,125 kann nicht passieren!
2 eyes 0,023 0,094 0,094 kann nicht passieren! kann nicht passieren!
3 eyes 0,016 0,031 kann nicht passieren! kann nicht passieren! kann nicht passieren!
4 eyes 0,004 kann nicht passieren! kann nicht passieren! kann nicht passieren! kann nicht passieren!

Hier sehen wir auch schon, warum Modifikationen so wichtig sind. Im letzten Turnier beklagte ein Gegner sein extremes Würfelpech im Angriff, nur jede dritte oder vierte Attacke seiner 4-Würfel-Outrider-HLC machte überhaupt Schaden bei meinem Poe mit mageren 2 Verteidigungswürfeln. Dahinter steckte, dass er auch (mit Ausnahme der ersten Runde) durch Blocken und Stress im ganzen Spiel keine Modifikation für seine Würfel hatte. Die Wahrscheinlichkeit auf 3 hits oder 4 hits zu kommen (und das braucht man schon gegen Poe, 2 verteidigt er schon meistens) war damit nur (Summe aller Einträge bei 3 hits und 4 hits) 0,3125. Eine Wahrscheinlichkeit von ca 31% passt auch ziemlich gut zu “jede dritte oder vierte Attacke”.

Science. It works, bitches! 😀

Wahrscheinlichkeiten für modifizierte Würfel

Jetzt wollen wir aber wissen, wie das aussieht, wenn man die Würfel auch modifiziert! Wir fangen ganz simpel an und betrachten den Fall, dass wir noch ein Focustoken haben. Wenn wir den Token auch einsetzen (ansonsten gilt die Tabelle für den unmodifizierten Wurf) ist klar, dass wir nachher keine eyes mehr auf den Würfeln liegen haben, also besteht die Tabelle nur noch aus einer Zeile:

Mit Focus 0 hits 1 hits 2 hits 3 hits 4 hits 
0 eyes 0,004

Es gibt jetzt zwei Möglichkeiten, das auszurechnen. Die komplizierte ist, dass wir für jede Zelle in der alten Tabelle schauen, wo das Ergebnis in der neuen Tabelle hinmüsste. Zum Beispiel ist klar, dass um nach der Modifikation 1 hits zu haben man entweder direkt (1 hits, 0 eyes) hatte oder (0 hits, 1 eyes) und das eye in einen hit gedreht hat. Also müssten wir dafür die Wahrscheinlichkeiten zusammenrechnen (Ereignis A oder Ereignis B bedeutet, wir müssen addieren, ihr erinnert euch?). Für 2 hits ist das aber schon wieder aufwändig, denn wir können 2 hits auf drei Arten hinbekommen: (0 hits, 2 eyes) oder (1 hits, 1 eyes) oder (2 hits, 0 eyes). Für 3 hits sind es vier Arten, für 4 hits sogar fünf.

Ein Fuchs, wer schon gemerkt hat, dass man dazu die Diagonalen in der Tabelle aufaddiert – dann ist es auch schon wieder ganz einfach.

Die zweite und wesentlich einfachere Möglichkeit ist, wenn man zum Erstellen der ersten Tabelle Numbers oder Excel oder etwas Ähnliches verwendet hat. Dann kann man nachträglich einfach die Grundwahrscheinlichkeiten für einen einzelnen Würfel so ändern, dass ein hit eine Wahrscheinlichkeit von 0,75 hat (weil jedes eye praktisch zum hit wird) und ein eye eine Wahrscheinlichkeit von 0. Das Ergebnis ist für beide Methoden das selbe:

Mit Focus 0 hits 1 hits 2 hits 3 hits 4 hits 
0 eyes 0,004 0,047 0,211 0,422 0,316

Für ein Target Lock gibt es auch zwei Möglichkeiten, das auszurechnen. Wieder ist die eine kompliziert, aber besser geeignet um später damit auch Dinge wie Predator oder Linked Battery auszurechnen. Das Knifflige beim Target Lock ist, dass wir für jede Anzahl an neu geworfenen Würfeln im Grunde wieder eine neue Tabelle brauchen – ist eigentlich klar: wenn ich drei Würfel neu werfe, ist das wie ein neuer unmodifizierter Wurf mit drei Würfeln. Also müssen wir uns die Arbeit machen und die Grundtabelle (s.o.) noch für 1, 2, und 3 Würfel aufstellen… ab an die Arbeit!

3 Dice 0 hits 1 hits 2 hits 3 hits
0 eyes 0,016 0,094 0,188 0,125
1 eyes 0,047 0,188 0,188 kann nicht passieren!
2 eyes 0,047 0,094 kann nicht passieren! kann nicht passieren!
3 eyes 0,016 kann nicht passieren! kann nicht passieren! kann nicht passieren!
2 Dice 0 hits 1 hits 2 hits
0 eyes 0,063 0,25 0,25
1 eyes 0,125 0,25 kann nicht passieren!
2 eyes 0,063 kann nicht passieren! kann nicht passieren!
1 Dice 0 hits 1 hits
0 eyes 0,25 0,5
1 eyes 0,25 kann nicht passieren!

Jetzt kommt der Clou: Für jedes Feld in der 4-Würfel Grundtabelle müssen wir uns jetzt überlegen, wie viele Würfel wir dort neu würfeln würden. Im Gunde nicht schwer; wenn wir keinen Focus haben, werden das wohl alle blanks und eyes sein, wenn wir ein Focustoken haben sind es wohl nur die blanks. Also würden wir von jedem Feld in der Grundtabelle aus mit einer der kleineren Grundtabellen weitermachen (außer natürlich, wenn wir alle Würfel neu werfen wollen – dann benutzen wir nochmal die 4er Grundtabelle).

Dann kommt wieder die Regel mit dem Multiplizieren von Wahrscheinlichkeiten ins Spiel: Wir haben ein Ergebnis aus der Grundtabelle mit dem Anfangswurf (das hat eine Wahrscheinlichkeit, die wir dort ablesen können) und wir haben ein Ergebnis aus einer Grundtabelle für alle möglichen Nachwürfe (auch hier mit zugehöriger Wahrscheinlichkeit). Letztendlich müssen wir also diese Wahrscheinlichkeiten dann miteinander multiplizieren und dann in einer neuen Tabelle sammeln. Wenn in einem Feld schon was drinsteht, bedeutet das, dass wir das Ergebnis schon auf einem anderen Weg mit einer anderen Wahrscheinlichkeit hätten erreicht haben können (z.B. 2 hits und 2 eyes können direkt gewürfelt worden sein oder es waren zuerst 2 hits und 2 blanks und die blanks sind dann als eyes neu geworfen worden oder… da gibt es viele Möglichkeiten und wir müssen alle abdecken). Für die Mathematiker handelt es sich um eine “Diskrete Faltung multivariater Funktionen endlichen Supports” für alle anderen ist es besser bekannt unter “mühsame Drecksarbeit”.

Nochmal ein Beispiel (denn das ist wirklich das komplizierteste, was wir in diesem Artikel besprechen) wie man Schritt für Schritt vorgeht. Sagen wir mal, wir haben keinen Focustoken und würfeln daher auch die eyes immer mit.

(0 hits, 0 eyes, no focus):

(0, 0) —> re-roll 4 —> (0, 0) = 0,00390625 * 0,00390625 = 0,00001525878906

(0, 1) —> re-roll 4 —> (0, 0) = 0,015625 * 0,00390625 = 0,00006103515625

(0, 2) —> re-roll 4 —> (0, 0) = 0,0234375 * 0,00390625 = 0,00009155273438

(0, 3) —> re-roll 4 —> (0, 0) = 0,015625 * 0,00390625 = 0,00006103515625

(0, 4) —> re-roll 4 —> (0, 0) = 0,00390625 * 0,00390625 = 0,00001525878906

Gesamtsumme (0 hits, 0 eyes, no focus) = 0,00024414062500

(0 hits, 1 eyes,  no focus):

(0, 0) —> re-roll 4 —> (0, 1) = 0,00390625 * 0,015625 = 0,00006103515625

(0, 1) —> re-roll 4 —> (0, 1) = 0,015625 * 0,015625 = 0,000244140625

(0, 2) —> re-roll 4 —> (0, 1) = 0,0234375 * 0,015625 = 0,0003662109375

(0, 3) —> re-roll 4 —> (0, 1) = 0,015625 * 0,015625 = 0,000244140625

(0, 4) —> re-roll 4 —> (0, 1) = 0,00390625 * 0,015625 = 0,00006103515625

Gesamtsumme (0 hits, 1 eyes, no focus) = 0,00097656250000

Damit haben wir dann die Ergebnisse für die ersten 2 von 15 Feldern… man könnte stundenlang mit wachsender Begeisterung so weiter machen. Das Schlimme dabei ist, dass das Ganze für die Felder in den anderen Spalten als der ersten richtig übel wird, weil man da ja auch mit verschiedenen Anzahlen neu gewürfelter Würfel hinkommt, z.B.:

(4 hits, 0 eyes, no focus):

(0, 0) —> re-roll 4 —> (4, 0) = …

(0, 1) —> re-roll 4 —> (4, 0) = …

(0, 2) —> re-roll 4 —> (4, 0) = …

(0, 3) —> re-roll 4 —> (4, 0) = …

(0, 4) —> re-roll 4 —> (4, 0) = …

(1, 0) —> re-roll 3 —> (3, 0) = …

(1, 1) —> re-roll 3 —> (3, 0) = …

(1, 2) —> re-roll 3 —> (3, 0) = …

(1, 3) —> re-roll 3 —> (3, 0) = …

(2, 0) —> re-roll 2 —> (2, 0) = …

(2, 1) —> re-roll 2 —> (2, 0) = …

(2, 2) —> re-roll 2 —> (2, 0) = …

(3, 0) —> re-roll 1 —> (1, 0) = …

(3, 1) —> re-roll 1 —> (1, 0) = …

(4, 0) —> keep all = …

So… das war wieder die komplizierte Methode. Das Runterleiern von vielen kleinen Zahlen erspare ich euch. Diese Methode würden wir aber tatsächlich brauchen, wenn wir ungewöhnliche Modifikationen betrachten wollen, bei denen man nicht immer alle blanks und eyes neu werfen würde (z.B. wenn man Predator oder Poes Fähigkeit benutzt oder so). Für einfach nur ein Target Lock mit oder ohne Focus kann man eine ziemliche Abkürzung nehmen! Der Trick ist, dass wenn man kein Focustoken hat, eyes ja im Grunde auch nur blanks sind. Damit fallen die Grundtabellen für 1 bis 4 Würfel dann auf die jeweils erste Zeile zusammen, die Spalten werden aufaddiert:

4 Dice 0 hits 1 hits 2 hits 3 hits 4 hits
0,063 0,25 0,375 0,25 0,063
3 Dice 0 hits 1 hits 2 hits 3 hits
0,125 0,375 0,375 0,125
2 Dice 0 hits 1 hits 2 hits
0,25 0,5 0,25
1 Dice 0 hits 1 hits
0,5 0,5

Jetzt machen wir tatsächlich wieder die “Diskrete Faltung” der Tabellen wie oben (das Ergebnis für 0 hits multiplizieren wir mit der 4 Dice Tabelle, das Ergebnis für 1 hits mit der 3 Dice Tabelle, und so weiter, am Schluss alles richtig aufaddieren) – das ist jetzt aber mit eindimensionalen Tabellen nur noch ein Bruchteil der Arbeit!

0 hits 1 hits 2 hits 3 hits 4 hits
4 Dice re-rolled 0,004 0,016 0,023 0,016 0,004
3 Dice re-rolled tu’s nicht! 0,031 0,094 0,094 0,031
2 Dice re-rolled tu’s nicht! tu’s nicht! 0,094 0,188 0,094
1 Dice re-rolled tu’s nicht! tu’s nicht! tu’s nicht! 0,125 0,125
Result 0,004 0,047 0,211 0,422 0,316

Wenig überraschend (aber auch irgendwie enttäuschend) sehen wir, dass das Gesamtergebnis von 4 Würfeln mit Target Lock exakt das selbe ist, wie bei 4 Würfeln mit Focus. Aber es war immerhin schwieriger auszurechnen.

Wahrscheinlichkeiten für modifizierte Würfel – Kombinierte Modifikationen

Zum Kombinieren von Focus und Target Lock können wir entweder

  • die Target Lock Tabellen nehmen und wieder die Grundwahrscheinlichkeiten für hits und eyes ändern,
  • die Focus Tabelle noch für 3, 2 und 1 Würfel aufstellen und diese dann diskret falten, oder
  • das volle Programm mit der diskreten Faltung durchziehen (no way) und dann die eyes zu den hits rechnen.
4 Dice, TL + Focus 0 hits 1 hits 2 hits 3 hits 4 hits
0,000 0,001 0,021 0,206 0,772

Jetzt haben wir es eigentlich geschafft. Wer sich die Mühe gemacht hat, bis hier zu lesen und vielleicht den ganzen Käse bis hier auch noch verstanden hat, der hat alles an der Hand, um jede Würfelwahrscheinlichkeit in X-Wing auszurechnen. Angriffswürfel, Verteidigungswürfel, modifiziert, unmodifiziert, egal. Jetzt könnt ihr euch das ganze in eine Excel-Tabelle packen (mit etwas Geschick sogar die diskrete Faltung) und hinten purzeln alle Wahrscheinlichkeiten raus. Daraus kann man dann auch die Erwartungswerte ableiten – aber die sind gar nicht mehr so spannend, wenn man die kompletten Tabellen mit allen Einzelwahrscheinlichkeiten vor sich liegen hat.

Fazit: Als Belohnung für die Mathe-Qualen gibt’s dann jetzt noch Antworten auf die Missile-Frage und einiges mehr.

Harpoon Missile

Ein Vorteil ist ja, dass man das Target Lock behält, also ist der Schuss immer modifiziert. Die Condition ist der andere Vorteil.

hits —> 0 1 2 3 4
TL 0,004 0,047 0,211 0,422 0,316
TL + Focus 0,000 0,001 0,021 0,206 0,772
TL + GC 0,004 0,047 0,211 0,738
TL + Focus + CG 0,000 0,001 0,021 0,978

Dazu kommt, dass die Harpooned-Condition leicht noch weiteren Schaden verursachen kann.

Fazit Harpoon: Die stärkste Rakete im Spiel. LRS lohnt sich (wenn man sein Ziel vor die Flinte bekommt), weil Abfeuern mit Focus besser ist als Abfeuern mit Guidance Chips aber ohne Focus. Beides zusammen ist natürlich golden… knapp 98% Chance auf 4 hits.

Concussion Missile

Der Vorteil ist, dass man einen blank gezielt drehen darf; dafür geht das TL für den Schuss selber drauf.

hits —> 0 1 2 3 4
TL 0,004 0,090 0,313 0,406 0,188
TL + Focus 0,004 0,047 0,211 0,738
TL + GC 0,004 0,090 0,313 0,594
TL + Focus + CG 0,004 0,047 0,949

Fazit Concussion: Man kann wirklich gut verhindern, 0 hits zu bekommen. Abgesehen davon ist die Harpoon einfach klar und deutlich besser. Selbst ohne ihre Condition. Tschüß, Concussion Missile.

Homing Missile

Der Vorteil ist, dass man das Target Lock behalten darf und dass der Gegner keine Evadetokens einsetzen kann.

hits —> 0 1 2 3 4
TL 0,004 0,047 0,211 0,422 0,316
TL + Focus 0,000 0,001 0,021 0,206 0,772
TL + GC 0,004 0,047 0,211 0,738
TL + Focus + CG 0,000 0,001 0,021 0,978

Klar, die gleiche Tabelle, wie für die Harpoon.

Fazit Homing: Klasse Rakete. Allerdings kein Splash Damage, kein extra Damage und einen Punkt teurer. Trotzdem super, wenn man beim Gegner Evadetokens erwartet.

Cruise Missile

Der Vorteil ist, dass man das Target Lock behalten darf, dass man sie auf 5 Würfel hochpushen kann und dass sie nur 3 Punkte kostet.

hits —> 0 1 2 3 4 5
TL 0,001 0,015 0,088 0,264 0,396 0,237
TL + Focus 0,000 0,000 0,002 0,032 0,241 0,724
TL + GC 0 0,001 0,015 0,088 0,264 0,633
TL + Focus + CG 0 0,000 0,000 0,002 0,032 0,966

Das ist die Tabelle, wenn man es schafft, sie mit 5 Würfeln rauszubekommen. Mit 4 Würfeln ist es die gleiche Tabelle, wie bei Harpoon oder Homing. Bei 3 Würfeln schießt man diese Rakete eh nur ab, wenn man nichts mehr zu verlieren hat.

Fazit Cruise: Sehr hoher Damageoutput bei extrem guter Accuracy, wenn man es schafft, sie mit 5 Würfeln abzufeuern. Das wiederum geht besonders gut bei Piloten mit hohem PS. Die haben zwar dann häufig keinen Slot für Extra Munitions, was aber bei der fantastischen Kosteneffizienz dieser Rakete kein Problem darstellt. Für high-PS-alpha vermutlich die beste Rakete (bedingt durch die Kosten), wenn man seinen Anflug etwas trainiert hat. Harpoon ist dann nur noch wegen des Splashs überlegen, was sich dann lohnt, wenn der Gegner in Formation fliegt. Sobald man die Cruise Missile allerdings nur mit 4 Würfeln abfeuert, hätte man besser in eine Harpoon investiert (wegen des Extraschadens der Condition, der den Extrapunkt locker wert ist).

Torpedos

Die Raketen sind momentan den Torpedos haushoch überlegen – vor allem, da es einige gibt, bei denen man das Target Lock nicht zum abfeuern ausgeben muss. Das erhöht die Trefferwahrscheinlichkeit ungemein; und auch ansonsten haben die meisten Torpedos eigentlich weder Kosten- noch Effektvorteile. Nur zum Vergleich noch eine Tabelle für z.B. Protonentorpedos oder Plasmatorpedos.

hits —> 0 1 2 3 4
no mods 0,063 0,25 0,375 0,25 0,063
GC 0 0,063 0,25 0,375 0,313
Focus 0,004 0,047 0,211 0,422 0,316
GC + Focus 0 0,004 0,047 0,211 0,738

Fazit Torpedos: Was man bei einer Missile, die kein Ausgeben des TL erfordert, als Baseline hat, dafür braucht man hier schon TL und Focus. Der Unterschied ist so gewaltig, dass man – wenn man nicht ganz sicher ist, dass man TL und Focus haben wird – momentan wirklich wenig Gründe hat, zu einem Torpedo zu greifen.

3 Gedanken zu „Dicy Probabilities (oder: welche Rakete klatscht am besten?)“

  1. Wenn man davon ausgeht, dass die Rakete trifft, ist der Extraschaden der Harpoon nicht etwa gleichwertig mit den maximal erreichbaren 5 Würfeln der Cruise? Die Aktion die Condition abzulegen lohnt sich ja fast nicht.

    1. @Timo: Der Extraschaden der Harpoon ist natürlich schon mit anderen Nebenbedingungen verknüpft (geht z.B. direkt auf die Hülle, verteilt noch Schaden in RW1, erfordert einen kritischen Schaden als Auslöser) und somit nicht ohne weiteres vergleichbar.

      Ich bin aber auch nicht sicher, ob ich deine Frage richtig verstehe: “Wenn man davon ausgeht, dass die Rakete trifft…”; meinst du damit, dass man die Condition auslöst, oder dass die Cruise überhaupt trifft, oder dass die Harpoon überhaupt trifft? Letztendlich rechnet man sich ja Wahrscheinlichkeiten aus, weil man eben nicht davon ausgehen kann, dass irgendwas trifft – man will ja wissen, wie wahrscheinlich das ist. Jede weitere Schlussfolgerung aus einem Treffer ist dann natürlich eine auf den Treffer bedingte Wahrscheinlichkeit – und die berechnen sich nochmal wieder etwas anders.

      Falls deine Frage also ist: “Ist es nicht egal ob Cruise oder Harpoon, weil die Cruise einen Schaden mehr macht (von 5 Würfeln ausgehend) aber die Harpoon auch einen Schaden mehr macht (davon ausgehend, dass die Condition triggert)”, dann ist die Antwort: Nur im günstigsten Fall; und der ist bei den beiden Raketen unterschiedlich wahrscheinlich (und hängt auch noch von der Defensive des Verteidigers ab). Zusätzlich machen wir uns die Rechnung dadurch kaputt, dass wir jetzt zwei Annahmen getroffen haben, deren Wahrscheinlichkeiten wir nicht berücksichtigt haben. Also nein.

      Wenn es jemanden interessiert, wie man die Angriffswahrscheinlichkeiten mit den Defensivwahrscheinlichkeiten des Verteidigers verrechnet (und dabei dann auch die Situativen Unterschiede zwischen Cruise und Harpoon deutlicher sieht), kann ich dazu nochmal einen Artikel schreiben.

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